बच्चों के लिए प्रायिकता (Probability) के खेल

प्रायिकता (probability) संयोग का गणित है: कोई घटना कितनी संभव है। बच्चे इसे हर बार इस्तेमाल करते हैं जब वे सोचते हैं कि बारिश होगी या सिक्का चित गिरेगा। Maths Guru "संभव" और "असंभव" जैसे शब्दों से शुरू करके भिन्न के रूप में लिखी प्रायिकताओं तक पहुँचता है।

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प्रायिकता असल में क्या है

प्रायिकता नापती है कि कोई घटना कितनी संभव है। सबसे सरल स्तर पर हम शब्द इस्तेमाल करते हैं: असंभव, कम संभावना, बराबर संभावना, संभावित, निश्चित। एक निष्पक्ष सिक्के का चित गिरना बराबर संभावना है, और कल सूरज का निकलना निश्चित है।

इसके बाद हम 0 से 1 तक की संख्याओं से संयोग नापते हैं, जो भिन्न, दशमलव या प्रतिशत में लिखी जाती हैं। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है। बराबर संभावना वाले परिणामों के लिए प्रायिकता है घटना के होने के तरीक़ों की संख्या भाग कुल परिणामों की संख्या। 3 लाल और 5 नीले कंचों वाली थैली में कुल 8 कंचे हैं, इसलिए लाल निकलने की प्रायिकता 3/8 है।

सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। इससे पूरक का विचार निकलता है: अगर बारिश की संभावना 2/5 है, तो बारिश न होने की संभावना 1 − 2/5 = 3/5।

बच्चे अक्सर कौन-सी गलतियाँ करते हैं

सबसे आम गलती है सारे परिणामों को बराबर संभावना वाला मान लेना, जबकि वे नहीं होते। 3 लाल और 5 नीले कंचों में "लाल या नीला, तो 1/2" कहना गलत है। थैली में संख्याएँ मायने रखती हैं।

दूसरी गलती है प्रायिकता को अनुकूल और प्रतिकूल के अनुपात की तरह लिखना। लाल और नीले का अनुपात 3:5 है, पर लाल की प्रायिकता 3/8 है, जिसके हर में कुल संख्या है। बच्चों को हमेशा पूछना चाहिए "कुल कितनों में से?"

एक गहरी भ्रांति है जुआरी की भूल: यह मानना कि लगातार चार बार चित आने के बाद अब पट की बारी है। निष्पक्ष सिक्के की कोई याददाश्त नहीं होती, इसलिए अगली बार चित की प्रायिकता अब भी 1/2 है। और बच्चे कभी "कम से कम" और "ज़्यादा संभावित" जैसे शब्दों को ध्यान से पढ़ना भूल जाते हैं। प्रायिकता के सवाल अक्सर एक मुख्य शब्द पर टिके होते हैं, इसलिए धीरे पढ़ना सचमुच एक कौशल है।

घर पर अभ्यास कैसे कराएँ

प्रयोग इसका सबसे अच्छा रास्ता हैं। सिक्का 20 बार उछालें, पासा 30 बार फेंकें, और नतीजे मिलान-चिह्न की तालिका में लिखें। हर प्रयोग से पहले बच्चे से अनुमान लगवाएँ और बाद में तुलना करें। वे देखेंगे कि नतीजे सिद्धांत के क़रीब तो होते हैं, पर शायद ही कभी ठीक वही।

रंगीन चीज़ों की थैलियाँ इस्तेमाल करें। थैली में 2 लाल और 3 नीली गोटियाँ डालें और लाल की संभावना पूछें। संख्याएँ बदलें और पूछें कि लाल को ज़्यादा संभावित क्या बनाएगा।

रोज़मर्रा में प्रायिकता की बात करें: "आज आइसक्रीम मिलने की कितनी संभावना है?" असंभव, कम संभावना, बराबर संभावना, संभावित और निश्चित जैसे शब्द इस्तेमाल करें और बच्चे से अपना चुनाव समझाने को कहें। बड़े बच्चों से घटनाओं को 0 से 1 तक की रेखा पर रखने को कहें।

Maths Guru प्रायिकता कैसे सिखाता है

Conquer the World में Probability Fort प्रायिकता का द्वीप है, जो कक्षा 3 से 4 वाले समूह और उससे ऊपर के लिए खुला है। सवाल संभावना के शब्दों (असंभव, कम संभावना, संभावित या निश्चित?), थैली में सबसे संभावित रंग चुनने, सिक्कों, पासों, स्पिनरों और थैलियों के सरल भिन्न, पूरक (1 − 2/5), दो घटनाओं में से ज़्यादा संभावित चुनने, 52 पत्तों की गड्डी से पत्ते, और 60 बार पासा फेंकने पर कितनी बार छक्का आने की उम्मीद जैसी अपेक्षित आवृत्तियों को कवर करते हैं।

प्रायिकता Time Skip के Expert स्तर और उसके Laps मोड में भी है, जहाँ बच्चे समय के दबाव में अभ्यास करते हैं। Maths Guru के सभी विषयों की तरह सवाल हर बार नए बनते हैं, और जहाँ मदद मिले वहाँ चित्रों के साथ।

हल किए उदाहरण

A fair coin is tossed. What is the probability of heads?

उत्तर: 1/2

2 बराबर संभावना वाले परिणाम हैं, चित और पट, और उनमें से 1 चित है। प्रायिकता 1/2 है।

A bag has 3 red and 5 blue marbles. P(red)?

उत्तर: 3/8

कुल 3 + 5 = 8 कंचे हैं, और उनमें से 3 लाल हैं। प्रायिकता 3/8 है।

A die is rolled. What is the probability of an even number?

उत्तर: 1/2

सम संख्याएँ 2, 4 और 6 हैं, यानी 6 में से 3 परिणाम। 3/6 सरल करने पर 1/2।

1 − 2/5

उत्तर: 3/5

अगर बारिश की संभावना 2/5 है, तो बारिश न होने की संभावना 1 − 2/5 = 3/5, क्योंकि दोनों संभावनाओं का योग 1 होता है।

1/6 of 60

उत्तर: 10

निष्पक्ष पासे पर छक्का आने की प्रायिकता 1/6 है। 60 बार फेंकने पर लगभग 60 का 1/6 = 10 छक्कों की उम्मीद है।

A spinner has 8 equal sections, 3 of them blue. P(blue)?

उत्तर: 3/8

8 बराबर हिस्सों में से 3 नीले हैं, इसलिए नीले की प्रायिकता 3/8 है।

अभिभावकों के लिए सुझाव

पहले प्रयोग करें: सिक्के उछालें, पासे फेंकें, फिर नतीजों की तुलना अनुमान से करें।
हर प्रायिकता के लिए पूछें: कितने तरीक़े, कुल कितनों में से?
रोज़ की बातचीत में असंभव, कम संभावना, बराबर संभावना, संभावित और निश्चित शब्द इस्तेमाल करें।
याद रखें सारी प्रायिकताओं का योग 1 है, इसलिए "नहीं" की संभावना 1 में से घटाकर मिलती है।
बच्चे को भरोसा दिलाएँ कि छोटी शृंखलाओं में नतीजे अजीब लग सकते हैं; संयोग की कोई याददाश्त नहीं होती।

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अभिभावकों के सवाल

बच्चे प्रायिकता किस उम्र में सीखते हैं?

संभावना के शब्द 6 से 7 साल से इस्तेमाल होते हैं, और भिन्न के रूप में प्रायिकता लगभग 9 से 11 साल में। Maths Guru में प्रायिकता का द्वीप कक्षा 3 से 4 वाले समूह के लिए खुलता है।

निष्पक्ष पासा या सिक्का क्या होता है?

निष्पक्ष का मतलब है कि सारे परिणाम बराबर संभावना वाले हैं। निष्पक्ष सिक्का 1/2 की प्रायिकता से चित या पट गिरता है, और निष्पक्ष पासा 1 से 6 में हर संख्या 1/6 की प्रायिकता से दिखाता है।

क्या Maths Guru में पत्ते और स्पिनर हैं?

हाँ। सवालों में सिक्के, पासे, स्पिनर, कंचों की थैलियाँ और 52 पत्तों की सामान्य गड्डी इस्तेमाल होती है, जिससे बच्चों को तर्क करने के लिए ढेर सारी अलग स्थितियाँ मिलती हैं।

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